Автоморфизм

Автоморфизм алгебраической системы — изоморфизм, отображающий алгебраическую систему на себя.

Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу. Группа автоморфизмов алгебраической системы ${\displaystyle K}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} K}$.

Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм множества, то есть перестановка элементов этого множества.

Понятие автоморфизма можно обобщить на более абстрактные объекты, не являющиеся «множествами с дополнительной структурой». Так, в теории категорий автоморфизм определяется как эндоморфизм, являющийся также изоморфизмом (в категорном смысле этого слова).

Примеры

Группы автоморфизмов решёток

В различных областях математики используются различные понятия решётки. В частности:

• В физике твёрдого тела и теории кристаллографических групп кристаллическая решётка — это обладающее трансляционной симметрией множество точек аффинного пространства. Автоморфизмы этого множества должны сохранять расстояние между точками, то есть быть движениями. Группа этих автоморфизмов — это кристаллографическая группа (либо сюръективно гомоморфно отображается в кристаллографическую группу)^[1].
• В теории групп решётка — это группа, изоморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, с билинейной формой на ней (в трёхмерном евклидовом пространстве соответствует решётке Браве из теории кристаллографических групп с выделенным началом координат). Автоморфизм такой решётки должен быть автоморфизмом группы. Группа таких автоморфизмов, в отличие от кристаллографической группы, конечна, если билинейная форма решётки соответствует евклидову пространству^[2].

Внутренний автоморфизм

Любой элемент ${\displaystyle g}$ группы определяет следующий автоморфизм, который называют внутренним автоморфизмом: каждому элементу группы ${\displaystyle x}$ ставится в соответствие сопряжённый ему элемент ${\displaystyle gxg^{-1}}$:

${\displaystyle f(x)=gxg^{-1}}$.

См. также

• Автоморфизм графа
• Автоморфизм группы

Примечания

Литература

• Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
• Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
• Харари, Фрэнк Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.