Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Синий график ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ для уравнения ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-5x}$.
${\displaystyle X}$ находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — ${\displaystyle \log(\log(X))}$; шкала ординат находится в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен образовывать линию наклона, равную по рангу кривой, уравнению для которого он образован. В случае ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-5x}$ ранг кривой равен 1. Красным цветом, для примера, нарисована линия с рангом кривизны 1.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

В поисках ответа на вопрос — при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах^[1], — Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг ${\displaystyle r}$ эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ решений равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля ${\displaystyle E(L,s)}$ в точке ${\displaystyle s=1}$. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел ${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {E(L,s)}{(s-1)^{r}}}}$, где значение ${\displaystyle B_{E}}$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее важным частным результатом по состоянию на 2011 год остаётся доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая ${\displaystyle E}$ содержит бесконечно много рациональных точек, то ${\displaystyle E(L,1)=0}$.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых^[en].

Примечания

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.