Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, то есть «третьего не дано») — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых формулирует отрицание другого, не могут быть одновременно ложными. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов «классической математики».

С «интуиционистской» (и, в частности, «конструктивистской») точки зрения установление истинности высказывания вида «А или не А» означает:

• либо установление истинности ${\displaystyle A}$;
• либо установление истинности его отрицания ${\displaystyle \neg A}$.

Поскольку, вообще говоря, не существует общего метода, позволяющего для любого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключённого третьего не должен применяться в рамках интуиционистского и конструктивного направлений в математике как аксиома.

Формулировка

В математической логике закон исключённого третьего выражается тождественно истинной формулой^[1]:

${\displaystyle A\vee \neg A,}$

где:

• «${\displaystyle \vee }$» — знак дизъюнкции;
• «${\displaystyle \neg }$» — знак отрицания.

Другие формулировки

Подобный смысл имеют другие логические законы, многие из которых сложились исторически.

В частности, закон двойного отрицания ${\displaystyle \neg (\neg A)\rightarrow A}$ и закон Пирса ${\displaystyle ((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P}$ эквивалентны закону исключённого третьего в интуиционистской логике. Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к классической логике. И всё же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны^[2].

Примеры

Предположим, что P представляет собой утверждение «Сократ смертен». Тогда закон исключённого третьего для P примет вид: «Сократ смертен или Сократ бессмертен», — откуда ясно, что закон отсекает все иные варианты, при которых Сократ и не смертен, и не бессмертен. Последнее — это и есть то самое «третье», которое исключается.

Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют иррациональные числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что ${\displaystyle a^{b}}$ рационально.

Известно, что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ иррациональное число (доказательство). Рассмотрим число:

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$.

Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально. Если данное число рационально, то теорема доказана. Искомые числа:

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Но если число ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$является иррациональным, тогда пусть ${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$. Следовательно,

${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2,}$

то есть ${\displaystyle a^{b}}$— рациональное число.

По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.

Примечания

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.

См. также

В Википедии есть портал «Логика»

• Закон тождества
• Закон противоречия
• Закон достаточного основания

• Проблема курицы и яйца
• Воля
• Доказательство от противного
• Закон двойного отрицания
• Закон Пирса
• Парадокс лжеца
• Дихотомия