Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Параметризованное семейство ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ случайных величин

${\displaystyle X_{t}(\cdot )\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T}$,

где ${\displaystyle T}$ произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$, то параметр ${\displaystyle t\in T}$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называется случайным процессом. Если множество ${\displaystyle T}$ дискретно, например ${\displaystyle T\subset \mathbb {N} }$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$, где ${\displaystyle n\geqslant 1}$, то параметр ${\displaystyle t\in T}$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация

• Случайный процесс ${\displaystyle X(t)}$ называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени ${\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots }$, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени ${\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом^[1].
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$, где ${\displaystyle n>2}$, а ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$, случайные величины ${\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})}$, ${\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})}$, ${\displaystyle \ldots }$, ${\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})}$ независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$. Тогда для каждого фиксированного ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, то ${\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} }$ — детерминированная функция параметра ${\displaystyle t}$. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции ${\displaystyle \{X_{t}\}}$.

Примеры

• ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, где ${\displaystyle \;X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1)}$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, и ${\displaystyle Y}$ — случайная величина. Тогда

${\displaystyle X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )}$

является случайным процессом.

Примечания

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Источники

• А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
• Натан А.А., Горбачёв О.Г., Гуз С.А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу "Случайные процессы" – М.: МЗ Пресс – МФТИ, 2003. –168 с. ISBN 5-94073-055-8.