Тождество (математика)

То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. ${\displaystyle 25^{2}=625.}$

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом «≡».

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство ${\displaystyle x+2=5}$ имеет место не при всяком значении ${\displaystyle x}$, а только при ${\displaystyle x=3}$. Поэтому оно не является тождеством.

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождества выполняется не для всех возможных переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

• выражение ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a}}=a}$ тождественно при любом ${\displaystyle a,}$ кроме ${\displaystyle a=0}$.
• выражение ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
• выражение ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$ тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: ${\displaystyle ab\neq ba}$.

См. также

• Отношение эквивалентности
• Уравнение

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 11 февраля 2017 года.