Теорема Александрова о развёртке

Теорема Александрова о развёртке — теорема о единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями граней, доказанная Александром Даниловичем Александровым.^[1] Является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.

Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии.

Формулировка

Многогранная метрика на сфере является развёрткой поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда сумма углов при любой её вершине не превосходит ${\displaystyle 2\cdot \pi }$. Более того многогранник определяется своей развёрткой с точностью до конгруэнтности.

При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.

Вариации и обобщения

• (Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
  • (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.

Смотри также

• Теорема монотонности Александрова

Примечания